Ich möchte darauf aufmerksam machen, dass gerne auch Tutorials über Schulsachen geschrieben werden können.
Nehmt nen Thema aus irgendnem Fach, dass ihr interessant findet und macht nen tut draus; User sowie Autoren profitieren vom zusätzlichen Wissen. :3

Benötigtes Vorwissen:
Ein wenig Bruchrechnen
Multiplizieren (Malrechnen)
Dividieren (Durch-rechnen)



Periodische Zahlen; was ist das?

Folgendes wären periodische Zahlen:
0.33333333...
4.5656565656...
8.513513513513....

Einfach ausgedrückt handelt es sich dabei um Zahlen, dessen Ziffern sich hinter dem Dezimalpunkt bis ins Unendliche wiederholen.
Zur Vereinfachung ist ein Strich über dem sich wiederholenden Teil üblich, um nicht runden zu müssen:


Periodische Zahlen gehören ohne Ausnahme zu den rationalen Zahlen, das bedeutet, sie lassen sich durch einen Bruch darstellen.
Und genau diese Eigenschaft macht die Periodischen Zahlen interessant. Deswegen werde ich euch zeigen, wie man mit ihnen umgehen kann. :>




Periodische Zahlen als Bruch

Die einfachste periodische Zahl ist folgende:
0.11111111...

Diese lässt sich recht klar ersichtlich auch durch den Bruch 1/9 darstellen. (Rechnet es nach, wenn ihr mir ned glaubt. ^-^)
Und somit haben wir auch schon unser Werkzeug, andere periodische Zahlen als Bruch darzustellen, nämlich all die, die sich nur in einer Ziffer wiederholen.
Wir müssen dazu lediglich unseren Bruch mit einer einstelligen Zahl multiplizieren. Wollen wir z.B. 0.5555.... darstellen, multiplizieren wir mit 5:
(1/9) * 5 = 5/9
Ihr könnt den Bruch mit dem Taschenrechner auflösen, ihr werdet 0.55555... erhalten.

(1/9) * 3 = 3/9 = 0.333333...
(1/9) * 8 = 8/9 = 0.888888...

Wenn wir keine Null sondern was anderes an erster Stelle stehen haben, rechnen wir das einfach plus.
5 + (1/9) * 3 = 5 + 3/9 = 5.333333...
6 + (1/9) * 8 = 6 + 8/9 = 6.888888...

Wirklich keine Hexerei. :>
Nun haben wir damit aber nicht jede periodische Zahl abgedeckt, sondern nur 9, um genau zu sein. Bleiben immernoch alle Zahlen, bei denen sich mehr als eine Ziffer wiederholen. (z.B. 0.23232323)
1/9 können wir nicht mit einer mehrstelligen Zahl multiplizieren, das würde überlappen, kompliziert werden... nichts für uns. Aber auch die Lösung für dieses Problem ist denkbar einfach.

Was wir für unser Beispiel (0.23232323) als Basis bräuchten wäre folgende periodische Zahl: 0.0101010101... Hier ist nur jede zweite Stelle betroffen, wir können eine zweistellige Zahl multiplizieren und bekommen das richtige Ergebnis.
Nun müssen wir 0.01010101... noch als Bruch darstellen, um das ganze auch anwendbar zu machen. Auch dies lässt sich mit einer einzigen Division ableiten;

wir nehmen unseren vorherigen Bruch: 1/9 = 0.111111... und teilen ihn durch 11
(teilt mal die Zahl 111'111 durch 11, dann wisst ihr, wie ich auf die elf komme)
Was wir bekommen ist genau das, was wir suchen: 0.01010101... = 1/99

Wir können für unser Beispiel diesen Bruch nun mit 23 multiplizieren, et voilà, wir haben unser kleines Problem gelöst.
(1/99) * 23 = 23/99 = 0.2323232323...

Dem aufmerksamen Betrachter wird aufgefallen sein, dass wir für jede zusätzliche Stelle, die wir zusätzlich wiederholt haben wollen, unserem Bruch 1/9 schlicht und einfach eine 9 im Nenner anfügen müssen.

1/9 = 0.111111...
1/99 = 0.01010101...
1/999 = 0.001001001001...
1/9999 = 0.000100010001...

Somit können wir jede x-beliebige periodische Zahl als Bruch darstellen, und das alles sogar im Kopf:

(1/99) * 56 = 56/99 = 0.5656565656...
6 + (1/999) * 123 = 6 + 123/999 = 6.123123123123...
76 + (1/9) * 2 = 76 + 2/9 = 76.2222222222...
4 + (1/9999) * 5786 = 4 + 5786/9999 = 4.578657865786...


Ausnahmen

Eine einzige Ausnahme gilt es, zu beachten, und zwar dann, wenn ihr eine 9 periodisch setzt.
Bei folgender Formel
(1/9) * 9
würden wir 0.999999... erwarten, bekommen aber eine 1. ( 9/9 = 1)

Der Unterschied zwischen 0.99999.... und 1 ist unendlich klein, von da her ergibt das Ganze auch wieder Sinn, nur können wir so keine periodische Zahl darstellen, die aus neunen besteht.
Dieser Beschränkung müssen wir uns leider beugen.



Und was bringt mir das jetzt?

Unsere neu erlangte Fähigkeit, periodische Zahlen in Brüchen darzustellen, können wir zweierlei sehr gut gebrauchen:


Kopfrechnen

Jeden Bruch, der eine 9, 99, 999 etc. im Nenner enthält, oder der sich auf einen solchen Nenner umformen lässt, könnt ihr nun kinderleicht im Kopf auflösen, ohne mit der Wimper zu zucken.

143/999 = 0.143143143....
12/33 = 36/99 = 0.36363636....

Bei Brüchen, die im Zähler einen grösseren Wert als im Nenner haben, müsst ihr nur vorher die ganzen Zahlen herausfiltern:

134/99 = 1 + 35/99 = 1.35353535....


periodische ganze Zahlen erstellen

Mit periodischen Zahlen können wir auch ganze Zahlen wie 343'434 oder 666 herleiten.
Wir multiplizieren die periodische Zahl mit einer Zehnerpotenz (10, 100, 1000, 10'000 etc.) und schneiden den periodischen Teil weg.

343'434 = 1'000'000 * 34/99 - 34/99
666 = 1'000 * 6/9 - 6/9

Aber das nur so am Rande, im Gegensatz zum Kopfrechnen ist dies nur eine kleine Spielerei.



Ich hoffe, ich konnt euch einigermassen verständlich erklären, was es mit periodischen Zahlen so auf sich hat.
Schreibt ruhig Fragen, Anregungen und Fehler die ihr findet. :3
LG
~Hopfel

Ich finde das kleine Tutorial gut, viele Schüler haben ja Probleme mit sowas.
Ich wusste garnicht, dass man Perioden als Brüche schreiben kann ^.^ (Da hat wohl jemand im unterricht geschlafen )

Ich finde dein Tutorial sehr hilfreich.